Главная | Регистрация | Вход | RSS

Меню сайта
Наш опрос
Нужно ли учить детей рисовать?
Всего ответов: 838
Реклама на сайте


Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Rambler's Top100
Форма входа

Каталог статей

Главная » Статьи » Мои статьи

О математике без математики
Когда я решался выступить с этими заметками перед широкой аудиторией, я больше всего боялся, что кто-нибудь примет меня за очередного пророка, предлагающего еще один способ выращивания вундеркиндов. Некоторый повод для такого мнения дают темы наших математических занятий. Их «взрослые» названия звучат порой удручающе научно: теория вероятностей, программирование, топология, комбинаторика...

Я представлял себе читателя — восторженного и увлекающегося, воспитанного на лекциях типа «Неизведанные возможности нашей психики», — который станет говорить: «Вы представляете, у него малые дети изучают теорию вероятностей! Взрослые люди, с высшим образованием ничего в этом понять не могут, а малыши прекрасно разбираются!»

И другого — более здравомыслящего и скептического, который будет возражать: «Не понимаю, зачем забивать им голову такой ерундой! Пусть у ребенка будет нормальное детство».

Обидно было бы слышать такие диалоги, так как обе точки зрения основаны на чистейшем недоразумении.

Нет, конечно, мы не «изучаем» никаких формул и теорем математической теории вероятностей. Я не верю в существование детей, сколь угодно одаренных, которые были бы способны к такому изучению. А что же делать вместо этого?
Дошкольники у подножья высшей математики

В качестве первого шага надо задать себе такой вопрос: откуда возникла теория вероятностей? Где ее корни? Ясно — как и многие другие науки, как даже сама арифметика, теория вероятностей возникла из наблюдений над определенными явлениями реального мира, а именно — над случайными, непредсказуемыми явлениями.

Следующий шаг — понять, что как раз вот такие наблюдения, предшествующие науке, вполне можно проводить вместе с детьми. Не все, конечно, — лишь самые простые. Да дети и сами, без нас, этим занимаются — например, тогда, когда играют в игры с участием игральной кости (кубика с написанными на нем очками от 1 до 6).

Нам остается только чуть-чуть выпятить, самую малость подчеркнуть вероятностную природу их наблюдений. Как? Есть много способов. Можно, например, вместо кубика предложить детям кособокий многогранник, чтобы они увидели, как игра становится «несправедливой»: одни цифры выпадают чаще, чем другие. Или можно придумать игру, в которой требуется считать сумму очков на двух костях. Здесь тоже дети рано или поздно заметят, что, скажем, сумма 7 выпадает гораздо чаще, чем сумма 2. В такого рода деятельности мы не ограничены ничем, кроме собственной фантазии и реальных возможностей реальных детей. Если дети поняли что-то, если какое-то зерно запало в разум — очень хорошо. Если нет — значит, мы просто играли.

(А играть вместе со взрослыми для малышей всегда особое удовольствие!)

Итак, сформулирую еще раз общее направление поиска: не наука сама по себе, как готовый продукт прошлых и поколений, а те предварительные, предшествующие ей наблюдения, которые послужили толчком к ее появлению (Выделено мной. — В. Л.)

Хочу рассмотреть один пример более подробно.
Увлекательная, если сначала пощупать руками

Всего лишь одна простая задачка — а как много она дает поводов для размышлений! Здесь и психология, и педагогика, и математика (и даже чуточку философия) сплелись в нерасторжимый узел. Вот сейчас увидите.

Задача эта относится к области комбинаторики. Когда-то такую науку проходили в школе, в девятом классе. Потом сочли очень трудной (вспомните хотя бы такое пугало, как бином Ньютона!) и из программы исключили. А все трудности старшеклассников состояли попросту в том, что им приходилось сразу начинать с формул, не пощупав ничего руками. В данном случае выражение «пощупать руками» надо понимать буквально. Ведь в комбинаторике речь идет о подсчете количества тех или иных комбинаций предметов. Только самих предметов-то нет — их надо вообразить, и комбинации тоже. Вот если бы начать с комбинирования реальных кубиков, фишек... Мы рассаживаемся вокруг мозаики.
Любопытно, связан ли порядок в игрушках с порядком в мыслях?

Задание такое: надо построить «бусы» — цепочку из пяти фишек, в которой две фишки должны быть черными, а оставшиеся три — белыми. Это, разумеется, можно сделать разными способами. Так вот, наша задача как раз и состоит в том, чтобы перебрать все способы и при этом избежать повторений.

.

По науке эти последовательности называются сочетаниями из пяти элементов по два: их количество обознача­ется С25и равно {5х(5—1)}2 = 10. Ничего этого дети, конечно, не знают и на наших занятиях не узнают. Они просто строят бусы — по очереди, один за другим. Каждый результат проверяется всеми вместе — действительно ли он новый или совпадает с каким-нибудь из построенных ранее. Порой и спорим.

Главный вопрос комбинаторики — сколько всего имеется решений. Но мальчики еще очень далеки от него. Они вообще пока не видят разницы между «это невозможно» и «у меня не получается» и выражают твердую уверенность в том, что уж я-то могу построить и одиннадцатое решение, и двенадцатое, и вообще сколько захочу. Приходится взяться за дело мне самому. Ребята перебирали свои решения как попало, без всякой системы. Зато я демонстрирую образец систематичности: перебираю решения в строго определенном порядке. Сначала ставлю одну черную фишку на первое место, а вторую — поочередно на второе, третье, четвертое, пятое места. Когда эта серия исчерпана, ставлю первую фишку на второе место и т. д.

Вы думаете, это производит впечатление? Ни малейшего. Единственное, что они поняли, — это то, что у меня тоже ничего не вышло. Отличить одно решение от другого они уже могут, а вот отличить порядок от беспорядка им пока не по силам. Надо отложить эту задачу этак на полгодика. (А пока, может быть, приучать их складывать все игрушки на свои места. Любопытно, связан ли порядок в игрушках с порядком в мыслях?)
К чему ведет взрослая привычка подставлять свою точку зрения вместо ребячьей

Полгода прошло. Но не давать же детям ту же самую задачу снова! Мне приходит в голову, сохранив математическое существо задачи, изменить ее внешнее, физическое оформление. Каждый получает листок, на котором нарисованы сцепленные друг с другом кружочки, по пять штук в каждом ряду

Задача состоит в том, чтобы в каждой цепочке два кружка закрасить, а остальные три оставить пустыми. Разумеется, разными способами и без повторений. Чемпионом будет тот, кто найдет больше всего решений.

(И еще одна деталь, на первый взгляд пустячная. Я даю всем ребятам фломастеры самых разных цветов, а в дальнейших обсуждениях этот факт старательно игнорирую: каждый раз два кружка можно закрашивать любым цветом. Я надеюсь, что в какой-то мере это подчеркнет чисто комбинаторную природу задачи. А в другой группе я вместо кружков рисовал квадраты, треугольники и т. п.). .

Несколько минут самостоятельной работы (показывающей между прочим, что задача на бумаге труднее задачи на мозаике, несмотря на прошедшие полгода), затем шумный обмен мнениями и результатами. Теперь у всех по десять решений.

«А вы помните, у нас уже была один раз очень похожая задача...»

Ведь вот как легко промахнуться, подставив свою точку зрения вместо ребячьей! Что значит похожая? Мне как-то казалось само собой разумеющимся: похожая задача — это та, где тоже фигурировали сочетания из пяти предметов по два. А дети считают похожими те задачи, в которых тоже надо было рисовать фломастерами. Не люблю подсказывать, но на этот раз приходится. Мальчики с радостью хватаются за мозаику, строят бусы на ней и даже сами догадываются сверить решения на мозаике и на листочках. Кто-то вспоминает, что в прошлый раз тоже получилось десять решений. Это, наконец-то, повод для первого сомнения. «А что, и правда больше нельзя построить?» Я загадочно улыбаюсь и перехожу к другому заданию.
Золотая жила, или задача-хамелеон

Кажется, я набрел на золотую жилу. Вскоре та же задача появляется в третий, в четвертый и даже в пятый раз. Посмотрите, как непохоже она выглядит в своем новом обличье. В порядке очереди каждый получает листок клетчатой бумаги, на котором нарисован прямоугольник 3х4 клетки. (Секундный спор о том квадрат это или нет, после чего можно формулировать условие задачи.) Требуется нарисовать все возможные дороги из левого нижнего угла в правый верхний, но при одном условии: из каждой клетки можно передвигаться только направо или вверх. Встретив эту задачу в книге, я и сам не сразу сообразил, как она связана с предыдущими. Если вам, уважаемые читатели, это тоже не совсем ясно, потерпите немного — сейчас все разъяснится.

Работа кипит, чувствуется возросшая квалификация моих «математиков»: и ошибок меньше, и все десять решений найдены довольно быстро.

(Вот еще один «подводный камень»: мальчики уже начинают привыкать к тому, что во всех комбинаторных задачах ответом служит число 10. Обязательно надо будет в ближайшее же время подбросить им побольше задач с разным количеством решений.)

Теперь время самого важного вопроса: чтобы пройти из угла в угол листочка, сколько шагов надо сделать направо и сколько вверх?

Только сначала надо договориться о том, что такое шаг, а то я считаю шагом переход из клетки в соседнюю, а ребята — любой прямолинейный отрезок. Договариваемся.

Ну теперь-то уж ответ очевиден? Опять нет! Я в недоумении и после занятия обдумываю причину.

А и в самом деле, вопрос казался мне простым только по недомыслию.

Ведь именно на этом свойстве — что количество шагов по горизонтали и по вертикали одинаково для всех путей — основано координатное представление векторов, то есть тот факт, что при сложении векторов их координаты тоже складываются. Четко помню, как когда-то меня, уже взрослого, поразило это свойство векторов. На его основе можно сделать хорошую серию задач и с ее помощью даже дать намек на отрицательные числа (если допускать шаги назад, но подсчитывать их со знаком минус).
Как важно хотя бы на мгновение усомниться

Ну а пока на занятии мы старательно подсчитываем шаги: оказывается, каждая дорожка содержит ровно три шага направо и ровно два шага вверх.

Поэтому на следующем занятии мы пишем такие последовательности: ВВППП, ВПВПП, ВППВП и т. д. — в каждой три буквы П и две буквы В. По замыслу каждая буква П обозначает шаг направо, а буква В — шаг вверх.

Надо было видеть то волнение, что охватило ребят, когда я показал им эту связь!

Они немедленно потребовали разрезать листок, на котором написаны наши пятибуквенные слова, и, отталкивая друг друга, стали прикладывать каждое слово к соответствующей дорожке. Я остаюсь сторонним наблюдателем, однако пытаюсь невзначай подкинуть еще одну мысль.

«Может быть, мы заодно и еще какие-нибудь решения найдем, — говорю я. — Одиннадцатое, двенадцатое...» Один лишь Женя откликается на мои слова: «Нет, — говорит он. — Ведь здесь десять и там тоже». — «Но, может быть, они разные? Здесь одни десять решений, а там другие?» К этому моменту, однако, все бумажки уже разложены, и наши надежды не оправдались: обе группы по десять решений в точности соответствуют одна другой, или, как говорят математики, находятся во взаимно однозначном соответствии. Как тем не менее важно хотя бы на мгновение усомниться в результате, чтобы потом ощутить его как результат!
Озарение сопровождается радостным воплем

Сейчас, на волне энтузиазма, можно продвинуться чуточку дальше.

«А скажите, ребята, можно было обозначить шаги направо и вверх другими буквами? Не П и В, а другими?» — «Конечно! Какими хочешь можно». — «Ну какими, например?» — «Например, А и Б», — говорит Петя. «Или, например, твердый знак и мягкий знак», — это Дима. «Или, например, — говорю я, — шаг направо обозначить плюс, а шаг вверх — запятой». «О-о-о!» - хохочут мальчики. «Или, — продолжаю я бесстрастным тоном, - шаг направо обозначать черным кружком а шаг вверх - белым». - «Как это?» - «А вот так».

Я беру один из рисунков и соответствующую ему подпись ППВПВ и рисую рядом картинку. И в наступившей паузе — паузе перед взрывом — еще успеваю соединить свои кружочки линиями, придав им окончательное сходство со второй задачей. Узнали! Тут ошибиться нельзя: озарение сопровождается радостным воплем и чуть ли не плясками. На столе все смешивается, и продолжать дальше становится решительно невозможно. Пора кончать занятие. Теперь можно отступить примерно на месяц, отвлечься, позаниматься другими задачами. Пусть идея уляжется, пустит корни. К тому же однотипные задачи могут скоро надоесть.
Грандиозная идея, которая таится за скромным словечком «обозначить»

И вот — финиш. На столе пять коробок и два шарика: нужно класть эти два шарика в две коробки, оставляя остальные три коробки пустыми. И чтоб не повторяться.

Работа начинается бойко, но уже на четвертом или пятом шаге возникает ожесточенный спор, было уже такое решение или нет. Мальчики обращаются ко мне как к арбитру, но я делаю вид, что тоже не помню. Как быть?

Между прочим, далеко не каждый ребенок сообразит, что делать в такой ситуации. Нужно обозначить каким-то значком пустую коробку и каким-то другим — коробку с шариком, а все найденные решения записывать. Но за этим скромным словечком «обозначить» прячется грандиозная идея, родившаяся и выросшая вместе с человеческой цивилизацией. Достаточно вспомнить во многом еще загадочную историю возникновения письма, эволюции пиктограмм в иероглифы, иероглифов — в алфавитное письмо и т. д. Сколько существует на свете математика, она всегда занималась изобретением и усовершенствованием систем обозначений — сначала для чисел, потом для алгебраических операций, потом для все более и более абстрактных сущностей. Уже в нашем веке учение о знаковых системах осознало себя в качестве самостоятельной науки — семиотики.

(Недаром так недоумевают первоклассники, когда им говорят: «Обозначим слог прямоугольником, обозначим гласный звук красным кружочком, твердый согласный — черным кружочком, мягкий — синим кружочком; обозначим неизвестное число буквой х...» Это же так просто, так понятно — для нас с вами: обозначим — и все дела. А дети в тупике.)

Выразительный пример того, о чем уже говорилось («Как часто учебные и жизненные задачи кажутся простыми нам только по недомыслию!»)
Изобретаем письменность: рисунок- пиктограмма- иероглиф...

На нашем кружке я всегда пытался не только решать отдельные задачи, но и формулировать, хотя бы для себя, сверхзадачи. Знакомство с семиотической идеей – одна из таких сверхзадач.

Мы не раз обсуждали то, что числа обозначаются цифрами, звуки речи — буквами, а, скажем, музыкальные звуки — нотами. Вспомнили и другие системы знаков, например дорожные знаки. И всегда, когда было можно (и полезно), придумывали значки для разных объектов, с которыми оперировали. Так что эта идея для ребят уже не совсем новая.

Вот мальчики и предлагают «рисовать» решения. Поначалу они и в самом деле пытаются делать что-то вроде реалистических рисунков; я бы сказал: находятся на пиктографическом уровне. Но это трудно, и довольно скоро мы переходим на иероглифический уровень: рисунки становятся более абстрактными — теперь пустая коробка обозначается квадратом, а заполненная — квадратом с кружком внутри. Я предлагаю рисовать в последнем случае просто кружок. Очередное препятствие: дети не умеют рисовать аккуратно, и нарисованный ими круг не всегда легко отличить от квадрата. Тогда я делаю еще одно предложение: рисовать круг с крестом.

«А почему с крестом?» — «А какая разница, как обозначать», — отвечаю я, пытаясь равнодушным пожиманием плеч еще раз намекнуть на относительную самостоятельность знака по отношению к обозначаемому объекту и его (в известных пределах) произвольность.
Минута педагогического триумфа: дети приходят к общематематической идее!

А между тем получившаяся задача в одном отношении сложнее предыдущих. Ведь теперь каждое новое решение нужно сравнивать не с предшествующими решениями, а с их условными обозначениями.

На этот раз мальчики находят всего девять решений и после нескольких безуспешных попыток приходят к выводу, что больше решений нет.

И вот наступает минута моего триумфа, та, которую я так долго ждал и так упорно готовил. Петя вдруг восклицает, тыча пальцем в лист бумаги: «Ой, смотрите: да это же пэ, вэ, пэ, вэ, пэ!» Дима вскакивает очень взволнованно: «Да, да, папа, я уже давно хотел тебе это сказать!» — «Значит, должно быть еще одно решение», — подхватывает Женя.

— А давайте, — предлагает Дима, — принесем решение той задачи и найдем, чего не хватает.

Ходить, конечно, далеко не приходится. Подобно известному роялю в кустах, конверт с решениями всех предыдущих задач оказался здесь же, на столе. Какую из задач принять за основу? Мальчики предлагают полоски бумаги с кружками, и очень скоро, уже на четвертом шаге, мы нашли недостающее десятое решение.

(Видимо, ни один триумф не обходится без небольшого конфуза. Когда мы раскладывали полосочки с бусами, одна из них случайно перевернулась на 180 градусов. В результате одно из решений пропало, а другое, ему симметричное, оказалось повторенным дважды. Мы едва не запутались.)

То что произошло сегодня, кажется мне крайне важным. Мы не просто решили задачу. Мы решили ее путем сведения к другой, изоморфной ей задаче. Это — важнейшая общематематическая идея, и разве не чудо, что нашелся такой материал, на котором эту идею удалось продемонстрировать шестилеткам? Да к тому же так, что они сами до нее додумались!
Дошкольники и центральное понятие математики

События на нашем кружке меняются с головокружительной быстротой. Не успели мы разделаться с одной великой идеей, как тут же на подходе другая. Как-то сам собой возникает вопрос: почему каждый раз получается ровно десять решений?

В самом деле больше решений не существует или мы их просто не сумели найти? Как доказать, что их всего десять?
Доказательство - это ритуал, принятый в математике

Итак, доказательство. Центральное понятие для всей математики, я бы даже сказал, формообразующее, выделяющее математику из всех других наук. Представление о том, что является доказательством и что не является, менялось на протяжении веков и обрело современный вид лишь приблизительно на рубеже XX века (увлекательный рассказ об этом можно прочитать в книге Мориса Клайна «Математика. Утрата определенности»).

Математикам прошлых эпох, даже самым великим, казались вполне убедительными такие рассуждения, которые сейчас с негодованием отвергнет любой школьный Учитель. Если вдуматься, мы имеем дело с очень странным явлением: почему какие-то абстрактные рассуждения делают для нас то или иное утверждение более убедительным?

Один очень умный старшеклассник задал учителю такой вопрос: «То, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, совершенно очевидно, можно убедиться на примерах. Тем не менее нам этот факт доказывают. С другой стороны, то, что напряжение равно силе тока, умноженной на сопротивление, нисколько не очевидно. Однако этот факт нам почему-то не доказывают, а только иллюстрируют опытами. Почему?»

Этот вопрос — редкая попытка проникнуть в суть явлений. Большинство же школьников, я убежден, воспринимают доказательства как некий принятый в математике ритуал. Так полагается, и все. Как тут не вспомнить историю, относящуюся, кажется, к XVIII веку — про человека, который сказал своему учителю: «К чему все эти туманные рассуждения? Вы же дворянин, и я тоже. Дайте честное слово, что теорема верна, — мне этого вполне достаточно».

Смешно, правда? Ну а мы сами — образованные, современные люди, даже научные работники — мы разве не такие?
Где искать точки соприкосновения научной проблемы с миром детства?

Встречали ли вы когда-нибудь в учебниках истории доказательства того, что все описываемые события происходили именно там, именно тогда и именно так, как они описаны (да и вообще имели место)?

Нет, никаких даже намеков на доказательства в этих учебниках нет. И вот странное дело — это никак не уменьшает нашего доверия к изложенным фактам. «Честное слово дворянина» — в данном случае автора учебника — оказывается для нас вполне убедительным основанием. Как видим, проблема не так проста, даже если касается взрослых.

А к детям какое это имеет отношение? Вот какое: мне кажется, необходимо осознать проблему в целом, только тогда удастся найти какие-то ключи, какие-то пути и точки соприкосновения этой проблемы с миром детства.

В числе первых попыток были задачи из серии «четвертый — лишний» с неоднозначными ответами, о чем я рассказывал в предыдущей статье. В них я обращал внимание детей на важность не только правильного ответа, но и правильного объяснения.

Потом стали появляться задачи на доказательство такого сорта: доказать, что мы видим глазами, а слышим ушами, но не наоборот (доказательство: если закрыть глаза, мы перестанем видеть, а если закрыть уши, перестанем слышать); доказать, что облака ближе к нам, чем солнце (доказательство: облака заслоняют солнце); доказать, что мы думаем головой, а не животом (хорошего решения я так и не смог придумать).

Ну а в нашей комбинаторной задаче что могло бы служить аналогом доказательства? Видимо, только упорядоченный перебор возможностей, то есть такой перебор, при котором мы были бы уверены, что ничего не пропустили. Еще полгода назад мальчики эту идею не восприняли. Может быть, они уже созрели?
Способен ли дошкольник прийти к идее доказательства, если даже не все взрослые владеют ею?

Вернемся к тому обсуждению, рассказ о котором прервали на полуслове. Итак, как же убедиться, что, кроме найденных десяти решений, других нет?

Дима: «Нужно много лет пробовать, и если ничего не найдешь, значит, и нет». Я высказываю естественное возражение: а вдруг все-таки есть? Женя пессимистически заявляет: "Я больше ничего найти не смогу». Петя спрашивает у меня, я действительно сам не знаю, сколько будет решений, или я-то знаю точно, а спрашиваю только для разговора? Признаюсь, что сам я знаю точно. Тогда мальчики вообще перестают понимать, чего мне еще надо.

Тут вдруг Дима произносит какую-то туманную и довольно бессмысленную фразу, в которой, однако, фигурируют слова «самая левая коробочка». Я поскорее интерпретировал эту фразу в нужном мне направлении и стал рассуждать вслух. Возьмем первый шарик и положим в самую левую коробочку. Куда теперь можно положить второй шарик? Во вторую, третью, четвертую и пятую коробочки; всего четыре решения. Теперь первый шарик положим во вторую коробочку. Тогда второй можно положить в четыре оставшиеся: в первую, третью, четвертую и пятую коробочки — еще четыре решения. Теперь положим первый шарик в третью коробочку и т. д. Всего получается пять раз по четыре решения, то есть... двадцать решений! Вот так раз! Мальчики в полном ошеломлении, а я как можно скорее сворачиваю все дела и заканчиваю занятие.

На этот раз я бил без промаха. Теперь уже все дети без исключения занялись самостоятельными исследованиями — что-то дома перекладывали, рисовали, и в итоге — кто раньше, кто позже и частично с моей помощью — разобрались все же, почему для получения правильного ответа число 20 еще следует разделить пополам.
Детский вопрос: можно ли других людей в чем-то убедить?

Как-то уже не на кружке, но явно под его влиянием, у меня произошла такая беседа с сыном. Дима спросил меня, как вообще можно других людей в чем-то убедить. «Есть разные способы, — ответил я. В физике, например, делают опыты». — «А-а, понятно». (Что такое физический опыт, Дима знает а по книге Л. Л. Сикорука «Физика для малышей» — одному из наиболее блистательных шедевров научно-популярной литературы для маленьких.) «Вот, например, такой вопрос: какие предметы падают быстрее — легкие или тяжелые?» — «Конечно, тяжелые падают быстрее». — «Ты так думаешь. А другой человек может сказать, что предметы падают одинаково быстро». — «Ну-у нет!» — «А почему нет?» — «Ну, ведь если мы возьмем камень и лист бумаги, то камень упадет быстрее!» — «Да. Значит, чтобы убедить этого другого человека, что он не прав, ты сделаешь опыт, верно? Возьмешь камень и лист бумаги и посмотришь, что упадет быстрее». — «Да». — «А теперь давай сделаем другой опыт».
Как невидимые круги сделать видимыми

Идею этого опыта мне рассказали друзья. Сначала мы берём два одинаковых листа бумаги, и они, разумеется, падают одинаково медленно. После этого я комкаю один из листов и скатываю его в комок. Я хочу спросить, какой из листов теперь упадет быстрее, но Дима меня опережает. «А теперь вот этот (он показывает на комок) стал тяжелее». — «Почему?!!» — «Потому что он упадет быстрее». Вот, оказывается, как обстоит дело. Для того чтобы физический опыт мог вас в чем-то убедить, нужно сначала, чтобы ваша логика развилась до такого уровня, когда вы осознаете недопустимость логических кругов.
Бросаем в паре все, что попадается под руку

Я, однако, не унимаюсь. Мы продолжаем бросать в паре все, что попадается под руку: пуговицу и большой тяжелый лист ватмана, пуговицу и гирю, пластмассовый пустотелый кубик и деревянный кубик того же размера и т. п. Дима обескуражен результатами; попытался было предположить, что пуговица тяжелее листа ватмана, но быстро отказался от этой мысли. «Значит, бывает по-разному. Иногда легкие вещи падают быстрее, а иногда тяжелые». Он уже почти готов удовлетвориться таким объяснением. И вдруг догадывается: «А-а, понимаю, папа! Это ему воздух мешает падать». — «Кому?» — «Лист большой, и ему воздух мешает падать, не пускает его. А пуговица маленькая, ей воздух меньше мешает». — «Правильно! А если бы воздуха не было, что бы тогда было?» — «Тогда бы все падали одинаково». — «Молодец. А когда я лист бумаги скомкал в комочек, что произошло?» Дима подбирает слова, чтобы сформулировать ответ. Меня подводит нетерпение — я отвечаю за него: «Воздух ему перестает мешать». Но Дима меня поправляет: «Нет, не перестает, а начинает меньше мешать».
Принципиальное отступление от принципа

Я уже писал о своем принципе: никогда не пытаться «внедрить» в ребенка свою точку зрения, даже намеком. Но в иерархии принципов есть еще один, более важный: ни одному принципу не должно следовать с железной непреклонностью.

И вот сейчас, мне кажется, удобный повод отступить от первого принципа. С явным намеком в голосе я задаю еще один вопрос о скомканном листе бумаги: «И что, разве он действительно становится при этом тяжелее?» Дима смеется таким тоном, будто хочет сказать, что только по недомыслию можно было ляпнуть такую глупость, и от­вечает: «Ну конечно же, нет! Может быть, только совсем немножечко тяжелее».
Мысленный эксперимент, или почему вопросы важнее ответов

Вечером, записывая нашу беседу в дневник, я обдумываю ее более внимательно. Я вдруг начинаю понимать: то, что мы произвели, не является в точном смысле слова физическим экспериментом. Эксперимент — это вопрос, заданный природе, с заранее неизвестным ответом. А в нашем случае Дима знал все ответы заранее. Не обязательно было реально бросать гирю с пуговицей — собственный опыт жизни ребенка в реальном физическом мире оказывался вполне достаточным, чтобы правильно предсказать результат этого опыта. Можно сказать, что ни один из опытов не сообщил ему ничего нового — если говорить только о фактах. Новым было лишь упорядочение известных фактов. По существу, мы произвели то же самое доказательство путем перебора логических возможностей, которое раньше проделали с шариками в коробочках.

Данная ситуация проливает некоторый дополнительный свет на то, почему так полезны в обучении вопросы. С помощью вопросов мы помогаем ребенку сопоставить те элементы его жизненного опыта, которые до этого существовали как бы отдельно, не связываясь друг с другом.
Мы, обезьяны и математика

Как-то на даче мальчики вспоминали о своем недавнем походе в зоопарк, где им показывали обезьян. Я вдруг вмешался в их разговор и заявил, что это не им показывали обезьян, а их водили показывать обезьянам. «А ну-ка, докажите мне, что я не прав». Завязался отчаянный спор. Первый аргумент — «Ведь мы же на них смотрели» — я разбил легко: «Они на вас тоже смотрели». Второй аргумент был серьезнее: «Мы где хотим можем ходить, а обезьяны в клетке сидят». На это я возразил так: «Нет, не где хотите. Обезьянам нельзя выходить из клетки, а нам нельзя входить в эту клетку. Просто есть решетка — и обезьяны ходят где хотят с одной стороны решетки, а мы — с другой». Так мы еще спорили некоторое время, и вдруг Дима воскликнул радостно - как бы поймав меня на подвохе: «Ой, папка! Ведь это же мы опять математикой занимаемся!»

…На самом первом занятии кружка дети бросились вперегонки считать разложенные на столе пуговицы. Тогда они именно так представляли себе математику - это когда считают. С тех пор их представление разитель­но изменилось. Теперь математика для них — что-то вроде логической игры в стиле Льюиса Кэрролла. Я верю, что именно такая.



Источник: http://www.rebenok.com
Категория: Мои статьи | Добавил: sheila1997 (19.11.2008)
Просмотров: 615 | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Друзья сайта
Мини-чат
200
Поиск
Яндекс цитирования
Copyright MyCorp © 2017